FUNDAMENTACIÓN:
La matemática discreta es la parte de las matemáticas que estudia objetos discretos. Definir el concepto discreto sin entrar en demasiadas formalidades no es sencillo pero podemos apelar a ciertos ejemplos matemáticos conocidos y contraponerlo al concepto de continuo que es la idea central del curso de Bases de Matemáticas. Lo discreto es lo finito o lo que, si no es finito, presenta el aspecto de los números naturales, objetos bien separados entre sí; lo continuo es lo no finito, lo infinitesimalmente próximo, como los números reales, y de ahí el concepto de límite y las ideas que de dicho concepto se derivan.
La matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas (combinatoria, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética, grafos,...), como consecuencia de, entre otras cosas, su interés en la informática y las telecomunicaciones: la información se manipula y almacena en los ordenadores en forma discreta (palabras formadas por ceros y unos), se necesita contar objetos (unidades de memorias, unidades de tiempo), se precisa estudiar relaciones entre conjuntos finitos (búsquedas en bases de datos), es necesario analizar procesos que incluyan un número finito de pasos (algoritmos)...
La matemática discreta proporciona las bases matemáticas para otros aspectos de la informática: estructuras de datos, algorítmica, bases de datos, teoría de autómatas, sistemas operativos, investigación operativa, así como ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos, que le permitan iniciar al futuro docente en el manejo de nociones, conceptos, principios y métodos básicos de la matemática discreta a través del estudio del homomorfismo, autómatas en estados finitos, algoritmos, grafos no dirigidos, árboles, circuitos secuenciales, lenguaje, así como también incrementar sus habilidades y destrezas en el campo del Álgebra que les permitan modelar situaciones tanto en matemáticas como en otros campos científicos o tecnológicos que van íntimamente ligados con el área de la informática.
- Objetivos Específicos:
- Conocer los conceptos de modelo computacional, algoritmo y complejidad.
- Discernir si un procedimiento es o no un algoritmo.
- Construir algoritmos utilizando pseudo códigos.
- Analizar algoritmos sencillos para estudiar su complejidad.
- Contenidos:
-
- Algoritmos: definiciones y ejemplos.
- Algoritmos de búsqueda.
- Algoritmos de ordenación
- Complejidad.
- Objetivos Específicos:
- Conocer las propiedades básicas de los números enteros (operaciones y factorizacion).
- Calcular el mcd de dos números enteros por el algoritmo de Euclides.
- Realizar operaciones en la aritmética modular.
- Resolver congruencias lineales y sistemas de congruencias.
- Contenidos:
- Los números naturales y los números enteros. Teorema de la división. Divisibilidad, MCD y factorización. Relaciones de congruencia.
- Sistemas de ecuaciones módulo enteros. Sistemas de numeración.
- Objetivos Específicos:
- Dominar las reglas fundamentales del cálculo combinatorio
- Entender los conceptos de Variación, Combinación y Permutación
- Calcular cardinales de conjuntos aplicando la Variación, Combinación y Permutación.
- Estudiar la probabilidad de sucesos de experimentos con una cantidad finita de resultados posibles.
- Contenidos:
- Introducción.
- Técnicas de conteo. Variaciones. Permutaciones. Combinaciones.
- Probabilidad: nociones básicas. Asignación de probabilidades.
- Probabilidad condicionada. Experimentos de Bernoulli. Variables aleatorias
- Objetivos Específicos:
- Estudiar los conceptos y definiciones básicas de la teoría de Grafos.
- Utilizar las representaciones de grafos.
- Reconocer si dos grafo son o no isomorfos utilizando diferentes métodos.
- Conocer los conceptos de grafo conexo, euleriano y hamiltoniano, las técnicas para reconocerlos y sus propiedades.
- Aplicar la definición para verificar si un grafo es un árbol.
- Aplicar la teoría de grafos a la Fundamentación de la informática.
- Contenidos: Definiciones básicas. Grafos, dígrafos y multígrafos. Grafos simples especiales. Construcción de grafos a partir de grafos. Isomorfismo de grafos. Representación de grafos: matriz de adyacencias, matriz de incidencias. Caminos, ciclos y grafos conexos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos etiquetados y algoritmo de Dijkstra. Árboles: definiciones básicas. Árboles de búsqueda binarios. Árboles de decisión. Códigos prefijos. Árboles generadores. Otros aspectos de la teoría de grafos. Aplicaciones: Modelización de redes.
- Objetivos Específicos:
- Conocer las propiedades de una relación de equivalencia y de una relación de orden y discernir cuando se presenta cada caso.
- Representar una relación mediante un grafo dirigido.
- Analizar las propiedades de la relación mediante la matriz de adyacencias del dígrafo asociado.
- Calcular la clausura (reflexiva, simétrica) transitiva de una relación.
- Extender un orden parcial para convertirlo en un orden total que contenga las relaciones de orden parcial.
- Contenidos:
- Producto cartesiano, relación, propiedad reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, relación de orden, relación de equivalencia.
- Representación de las relaciones: tablas, grafos dirigidos y matrices. Clausura reflexiva, simétrica y transitiva de una relación.
- Conjuntos parcialmente ordenados: diagramas de Hasse, elementos característicos, inclusión de un orden parcial en uno total.
- Álgebras de Boole.
OBJETIVOS GENERALES:
- Desarrollar un pensamiento lógico, con mayor importancia en el razonamiento y la reflexión, antes que en la mecanización y memorización, para interpretar diversos modelos en términos matemáticos.
- Desarrollar capacidades para simular, estructurar, razonar lógicamente y valorar datos intuitivos y empíricos, para proponer y solucionar problemas, mediante su formulación matemática
- Fortalecer en el estudiante las competencias comunicacionales para el uso del lenguaje y símbolos propios de la especialidad para hacer cálculos y representaciones gráficas.
- Introducir algunos métodos y conceptos básicos de la Matemática Discreta.
- Describir algunas de sus aplicaciones a la Informática.
BIBLIOGRAFÍA
- López, Dolors. Matemática. Prentice-Hall, 2002.
- Antonio Luna. Problemas Resueltos De Matemática Discreta. Paraninfo, 2003.
- Ralph P.;Grimaldi.Matemáticas Discreta y Combinatoria; Una Introducción con aplicaciones. Addison-Wesley, 1997.
- Félix García Merayo. Matemática Discreta. Paraninfo, second edition, 2005.
- S.Lipschutz, ‘Matemática Discreta’, McGraw-Hill
- Kolman, Busby and Ross, ‘Estructuras de Matemática Discreta para la Computación’, Prentice-Hall Hipanoamericana, S.A
- Richard Johnsonbaugh, ‘Matemáticas Discretas’, Grupo Editorial Iberoamerica.
- Grassmann, Winfried Karl; TREMBLAY, Jean-Paul. Matemática discreta y lógica. Madrid : Prentice-Hall, 1997. 706 p.
- Grimaldi, Ralph P. Matemáticas discreta y combinatoria : una introducción con aplicaciones. 3. ed. México : s.n., 1998