Seguramente, estudiando matemática, alguna que otra vez te has encontrado con problemas para entender realmente que significan todos esos números que resultan de todas esas fórmulas que te piden usar pero que no sabes realmente que calculan. Posiblemente esto te haya causado problemas más de una vez para estudiar, e incluso a veces hasta te haya llevado a tu límite. Y precisamente, una de los conceptos te te puede haber causado más problemas para enterder que significa realmente es el concepto de límite.
Si este es tu caso, no te preocupes. Es normal. Y no sólo normal, es incluso esperado y hasta beneficioso que te detengas y te preguntes qué significan todas esas cuentas. Que representa en la "vida real"; qué parte es totalmente abstracta y cual no, cómo poder visualizarlo, etc.
Cuando digo que es normal, es porque el concepto de límite no es ni mucho menos un concepto fácil. El concepto actual que manejamos tardó MÁS DE 2000 AÑOS en concretarse. Fue un duro proceso de razonamiento de los más grandes matemáticos de todos los tiemps y todos los lugares. Realmente son muchos los "obstáculos" con los que ha tenido que luchar la matemática para poder conseguir la claridad con la que hoy contamos en los conceptos referentes al límite.
Algunos de estos son: El “miedo" a la idea de lo infinito, la separación entre lo geométrico y lo numérico. La continuidad (transferir una propiedad de una sucesión convergente a su límite), la duda de si el límite se alcanza o no y el obstáculo de la simbología que retrasaron tantas ramas de la matemáticas y otras ciencias por tantos siglos. Estos obstáculos puede que tal vez aún lo sean para los estudiantes; y tal vez lo han sido para ti. Es por eso que te presento un resumen de la evolución del concepto de límite a lo largo de la historia.
CONCEPTO DEL LÍMITE:
Su génesis, evolución, obstáculos y paradojas que produjo y cómo se superaron en la historia
En su desarrollo histórico, el concepto de límite se enfrentó a grandes problemas y dudas que lo frenaron fuertemente como lo fueron la relación entre número (lo discreto) y magnitud (lo continuo), la naturaleza de los elementos infinitesimales, la búsqueda del rigor en el álgebra y el razonamiento circular en las definiciones de límite y de número irracional. La evolución histórica del concepto de límite y continuidad es el proceso de superación de estas dificultades conceptuales matemáticas y filosóficas.
El concepto de límite está relacionado a la matemática casi desde sus inicios. Los rastros más significativos los encontramos en la Matemática griega de la época de Arquímedes, e incluso antes. El concepto de límite ha variado, además de por las herramientas teóricas con las que contaron los matemáticos del pasado, por la visión filosófica que tenían los mismos del mundo y la necesidad con la que llegaban a necesitar de trabajar con los límites. Los antiguos griegos fueron los primeros en realizar avances realmente significativos y sobre todo debemos nombrar a Arquímedes, quien con la ayuda del método de Exhausción que, según él mismo nos dice, fue concebido por Eudoxo, logró alcanzar verdaderos hitos que hasta nuestros días son influyentes, en particular la aproximación del valor de π a través de la búsqueda del área de un círculo. Quizá lo que no permitió a los griegos lograr un avance superior fue su resistencia al concepto del infinito.
Desde Aristóteles hasta el siglo XVII pocos avances hay, pero sobre todo la idea de infinito asociada con Dios que los filósofos escolásticos tanto trabajarán permitirá ver los trabajos de los antiguos griegos con esa herramienta tan importante de la que estos carecían. En particular se nombra como uno de los hacedores desde esta nueva visión en la matemática a Simon Stevin.
La era moderna, en las ciencias de cálculo, se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos, aunque se detectó falta de cuidado en la formalización rigurosa de los conceptos matemáticos y procedimientos involucrados. Algunos de los problemas físicos que se trataron fueron:
El problema de la cálculo de la velocidad, espacio y tiempo con algunos de estos datos ya conocidos
El problema de la tangente a una curva.
El Estudio de máximos y mínimos de una función, relacionado con el movimiento de los planetas, el movimiento de proyectiles, etc.
Estudio de centros de gravedad y atracción gravitatoria.
Algunos métodos que se desarrollaron a veces en paralelo y sin ninguna conexión para resolver estos problemas y otros más son:
Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630). Era utilizado para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas. La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o volúmenes conocidos. Galileo utilizará un método semejante para mostrar que el área encerrada bajo la curva tiempo-velocidad es el espacio.
Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647). Fue utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Cavalieri representaba estos objetos mediante una superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor que aquella a evaluar.
Método de Fermat para buscar extremos de curvas. Lo aplicó a las “parábolas e hipérbolas de Fermat” y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando ε es pequeño, los valores de la función f(x) y f(x+ε) están tan próximos que se pueden tomar iguales. El método consiste en hacer f(x+ε)=f(x), dividirlo por ε y tomar ε=0. Si bien no habla de límite, está bastante cerca.
Método de las tangentes. Descartes crea el suyo propio a partir del método de Fermat, según reza en la carta que envía a Mersenne en Mayo de 1638 y, así, considera que la curva y su tangente en un punto coinciden en un entorno pequeño de dicho punto. Lo que pretende es dibujar la recta tangente en el punto P=(x, f(x)) y, para ello, calcula la subtangente utilizando un criterio de semejanza de triángulos. En la práctica, para obtener los segmentos necesarios se consideraba f(x+ε)-f(x), se dividía por ε y se tomaba ε=0, lo que equivale a hallar el límite funcional en la abscisa del punto P. Pero Fermat no usa el concepto de límite ni el de derivada debido a que no calcula la pendiente de la recta tangente, sólo la subtangente.
Método de Barrow (1630-1677). Su método es muy semejante al de Fermat, pero en él aparecen dos incrementos e y a, que equivalen a los Δx y Δy actuales.
Newton (1648-1727) es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal. Medina (s.f) nos habla de una aproximación cinética-infinitesimal de Newton. Para Newton:
El límite es una cantidad (Cociente) a la cual una razón de cantidades en movimiento se aproxima continuamente, más que cualquier diferencia dada y no puede alcanzarla o sobrepasarla antes que las cantidades hayan decrecido indefinidamente.
Newton usó Métodos heurísticos de inducción incompleta, analogía, interpolación lo llevó a métodos algorítmicos y fórmulas universales. Su aproximación cinética estuvo guiada por su conocimiento de la Física y de a variación continua sugerida por el movimiento. Como variables usó los “Fluentes”, que eran magnitudes geométricas o físicas que asociaba al movimiento, que varían con el tiempo. Para Newton el tiempo era la variable independiente universal.
La concepción de Leibniz (1646-1716) incluye los infinitesimales, a los que da mucha importancia, sobretodo desde su visión filosófica:
Cocientes (o razones últimas) en las que las cantidades se anulan, no son estrictamente hablando, razones de cantidades últimas si no límites a donde se acercan las razones de esas cantidades, al decrecer sin límite, las cuales aunque pueden hacerse más próximas a sus límites que cualquier diferencia dada, no pueden ni sobrepasaros ni alcanzarlos antes que las cantidades hayan decrecido indefinidamente
D’Alembert (1717-1783) es el primero que propone explícitamente como una solución al problema de los fundamentos del Cálculo infinitesimal “La Teoría de Límites” siguiendo la tradición de cantidades variables (Medina, s.f). En el tomo IX de la Encyclopédie, D ́Alembert escribe la siguiente definición de límite:
Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable
En esta definición las variables son monótonas y el límite unilateral, es decir, la magnitud que se aproxima no le puede superar, y así, aunque la aproximación es objetiva no se puede tener un control completo de la misma.
Lagrange (1736-1813) trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias. En su concepción no se admite la idea de límite, ni transita implícitamente en los métodos algebraicos.
Ya en la época moderna el cambio fundamental hacia la concepción formal con la que contamos en la actualidad la dará el Weierstrass, sin embargo es importante señalar el trabajo de Cauchy (1789-1857) quien le dió un carácter más aritmético. Rechaza el planteamiento de Lagrange prefiriendo el concepto de límite de D'Alembert. Cauchy nos da esta definición:
..., cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás
Bernard Bolzano (1781-1848) fue otro importante matemático que contribuyó en los últimos siglos con una definición de continuidad basada en la de límite. La obra de Bolzano, basada en la misma idea de límites, de Cauchy se desarrolla de forma paralela a la de este.
Eventualmente Karl Weierstrass (1815-1897), quien contribuyó a la aritmetización del análisis, legó la siguiente definición satisfactoria del concepto de límite:
Si, dado cualquier ε, existe un n0 , tal que para 0 < n < no , la diferencia f (xo ± n)-L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=xo
Weierstrass criticaba la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él, esto sugiere tiempo y movimiento.
En definitiva, queda claro que el concepto de límite no fue una realidad tan clara, ni siquiera para los más grandes matemáticos de la historia. Esto demuestra que no debes apenarte ni sorprenderte cuando puedas tener alguna duda sobre que estás realmente haciendo cando calculas un límite. Un buen repaso por este artículo te puede servir cuando tenga alguna duda referente a la importancia, por ejemplo, de aplicar límites para calcular una integral.
Espero quete haya servido de algo, y espero con ansias tus comentarios, preguntas y dudas, que con gusto tratare de ayudarte a esclarecer
/ivanlopezpedreanez13
@ivanlopezpedreanez
@ivanlopezped
Ivan Guillermo Lopez Pedreañez
Ivan Lopez Pedreañez
Cuando digo que es normal, es porque el concepto de límite no es ni mucho menos un concepto fácil. El concepto actual que manejamos tardó MÁS DE 2000 AÑOS en concretarse. Fue un duro proceso de razonamiento de los más grandes matemáticos de todos los tiemps y todos los lugares. Realmente son muchos los "obstáculos" con los que ha tenido que luchar la matemática para poder conseguir la claridad con la que hoy contamos en los conceptos referentes al límite. 