FERMAT vs DESCARTES
La Geometría Analítica
La geometría analítica [1] es básicamente una ayuda de la geometría al álgebra y del álgebra a la geometría. La geometría confiere al álgebra la posibilidad de representar ecuaciones como lugares en el plano, dependiendo del número de incógnita tendremos puntos, rectas, planos y sólidos. Esto permite tratar los problemas algebraicos visualmente.
Recíprocamente, el álgebra confiere a la geometría la posibilidad de trabajar las curvas, planos y sólidos de una manera abstracta, y a partir de la teoría, desarrollar nuevas curvas. Es decir, partiendo de la geometría y sus curvas, (...) [Leer más]
Recíprocamente, el álgebra confiere a la geometría la posibilidad de trabajar las curvas, planos y sólidos de una manera abstracta, y a partir de la teoría, desarrollar nuevas curvas. Es decir, partiendo de la geometría y sus curvas, y aplicándoles las propiedades del álgebra, podemos llegar al mismo punto que partiendo de ecuaciones algebraicas, y representarlas como objetos geométricos: A la Geometría Analítica.
Son estos dos posibles orígenes lo que distingue la invención de Descartes y Fermat, por tanto, es posible pensar que realmente cada uno creó independientemente la Geometría analítica, pero además cada uno le vio una utilidad, a primera mano, diferente. Ya que la intención principal de Descartes era aplicar su invención a problemas físicos y de la realidad, mientras que el interés de Fermat estaba en la teoría de números y los problemas abstractos en términos algebraicos.
Mientras Descartes empieza con la curva correspondiente a un lugar geométrico de la que deriva la ecuación del lugar, es decir, resuelve problemas geométricos a través de la construcción de la solución geométrica de ecuaciones, Fermat inversamente parte de una ecuación algebraica de la que deriva las propiedades geométricas de la curva correspondiente.
[menos]La Vida de Fermat
El padre de Pierre Fermat [2] era un rico comerciante de cuero y segundo cónsul de Beaumont-de-Lomagne. Existe cierta controversia sobre la fecha del nacimiento de Pierre, ya que es posible que tuviera un hermano mayor, a quien también se había dado el nombre de Pierre, pero que murió joven. Pierre tenía un hermano y dos hermanas y casi seguramente se crió en el pueblo de su nacimiento. Aunque hay poca evidencia sobre su educación escolar debe haber sido en el monasterio franciscano local.
Asistió a la Universidad de Toulouse antes de trasladarse a Burdeos en la segunda mitad de la década de 1620. En Burdeos empezó sus primeras investigaciones matemáticas serias y en 1629 dio una copia de su restauración de los Plane loci de Apolonio a uno de los matemáticos allí. Ciertamente en Burdeos estuvo en contacto con Beaugrand y durante este tiempo produjo un importante trabajo sobre máximos y mínimos que dio a Étienne d'Espagnet que claramente compartía intereses matemáticos con Fermat.
Desde Bordeaux Fermat fue a Orléans donde estudió Derecho en la Universidad. Recibió una licenciatura en derecho civil y compró los cargos de concejal en el parlamento de Toulouse. Así que en 1631 Fermat era un abogado y funcionario del gobierno en Toulouse y debido a la oficina que ahora tenía se convirtió en derecho a cambiar su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.
Durante el resto de su vida vivió en Toulouse pero, además de trabajar allí, trabajó también en su ciudad natal de Beaumont-de-Lomagne y en una ciudad cercana de Castres. Desde su nombramiento el 14 de mayo de 1631, Fermat trabajó en la cámara baja del parlamento, pero el 16 de enero de 1638 fue nombrado en una cámara superior, y luego en 1652 fue promovido al más alto nivel en la corte penal. Aún más promociones parecen indicar un crecimiento meteórico en su profesión, pero la promoción se hizo sobre todo en base a la antigüedad y por la plaga que golpeó la región a principios de 1650, lo que significa que muchos de los hombres mayores murieron. Fermat mismo fue golpeado por la peste y en 1653 su muerte erróneamente anunciada, aunque luego corregida.
Mantuvo su amistad matemática con Beaugrand después de mudarse a Toulouse, pero allí ganó un nuevo amigo matemático, Carcavi. Fermat conoció a Carcavi en un cargo profesional, ya que ambos eran concejales en Toulouse, pero ambos compartieron un amor por las matemáticas y Fermat le habló a Carcavi sobre sus descubrimientos matemáticos.
En 1636 Carcavi fue a París como bibliotecario real y entró en contacto con Mersenne y su grupo. El interés de Mersenne fue despertado por las descripciones de Carcavi de los descubrimientos de Fermat sobre la caída de cuerpos, y escribió a Fermat. Fermat respondió el 26 de abril de 1636 y, además de decirle a Mersenne sobre errores que él creía que Galileo había hecho en su descripción de la caída libre, también le contó a Mersenne su trabajo sobre espirales y su restauración de los loci (lugares) de Apolonio. Su trabajo sobre las espirales había sido motivado considerando el camino de los cuerpos que caían libres y había usado métodos generalizados del trabajo de Arquímedes sobre espirales para calcular áreas bajo las espirales. Además Fermat escribió:
“También he encontrado muchos tipos de análisis para diversos problemas, tanto numéricos como geométricos, para cuya solución el análisis de Viète no podría haber bastado. Compartiré todo esto contigo siempre que lo desees y lo hagas sin ambición, de la cual estoy más exento y más distante que cualquier hombre en el mundo.”
Roberval y Mersenne descubrieron que los problemas de Fermat en esta primera y subsecuente carta eran extremadamente difíciles y usualmente no solubles usando las técnicas del momento. Le pidieron que divulgara sus métodos y Fermat envió sus obras a los matemáticos de París.
Su reputación como uno de los mayores matemáticos en el mundo creció rápidamente, pero los intentos de conseguir su trabajo publicado fracasó principalmente porque Fermat nunca realmente quería poner su trabajo en forma pulida. Sin embargo, algunos de sus métodos fueron publicados, por ejemplo Hérigone añadió un suplemento que contiene los métodos de Fermat de máximos y mínimos a su obra principal Cursus mathematicus. La amplia correspondencia entre Fermat y otros matemáticos no encontró alabanza universal pues pensaban que los problemas de Fermat eran imposibles.
Durante el período de 1643 a 1654, Fermat estuvo fuera de contacto con sus colegas científicos de París. Hay una serie de razones para ello. En primer lugar, la presión del trabajo le impidió dedicar tanto tiempo a las matemáticas. En segundo lugar, la Fronda, una guerra civil en Francia, tuvo lugar y desde 1648 Toulouse fue muy afectado. Finalmente hubo la plaga de 1651 que debió tener grandes consecuencias tanto en la vida de Toulouse como, por supuesto, en sus consecuencias casi fatales para el propio Fermat. Sin embargo fue durante este tiempo que Fermat trabajó en la teoría de números.
Fermat es mejor recordado por este trabajo en teoría numérica, en particular por el último teorema de Fermat. Este teorema afirma que
No tiene soluciones enteras no nulas para x, y y z cuando n> 2. Fermat escribió, en el margen de la traducción de Bachet de la Arithmetica de Diofanto
“He descubierto una prueba verdaderamente notable que este margen es demasiado pequeño para contener.”
La correspondencia de Fermat con los matemáticos de París se reinició en 1654 cuando Blaise Pascal, le escribió para pedir la confirmación de sus ideas sobre la probabilidad. Su breve correspondencia estableció la teoría de la probabilidad y, a partir de esto, ahora se consideran sus fundadores conjuntos.
Fermat falleció el 12 de enero de 1665, a los 63 años en la ciudad de Castres.
El trabajo de Descartes
La Géométrie fue publicada en 1637 como apéndice del Discurso del método, escrito por René Descartes. En el Discurso, presenta su método para obtener claridad sobre cualquier tema. La Géométrie (Geometría) y otros dos apéndices de Descartes, la "Dióptrica", los "Meteoros", se publicaron con el Discurso para dar ejemplos de los éxitos que había conseguido siguiendo su método
El principal interés de Descartes, como se puede inferir de la naturaleza de sus obras en matemática, es llevar a la realidad lo que la mente puede creer, es decir, utilizar la razón como medio de abstracción, y analizar el mundo físico en busca de soluciones a problemas de la realidad tangible. Usualmente se le da a la filosofía la calificación de idealista, pues esta busca anteponer el razonamiento ante todo, sin embargo, el siguiente pasó a la filosofía es la puesta en práctica de la realidad, y es allí donde toma entra la matemática para Descartes.
A Descartes a menudo se le atribuye la idea de inventar el plano de coordenadas porque tenía los conceptos relevantes en su libro. La mayor parte del libro está ocupada por la solución de Descartes al "problema de Pappus", en el que, dadas varias líneas rectas en ciertas posiciones, Descartes intenta encontrar el lugar de puntos que satisface ciertas condiciones en relación con las líneas dadas. Al resolver este problema, Descartes toma dos segmentos de línea como desconocidos y los designa x e y. Los segmentos de línea conocidos se designan a, b, c, etc. El plano de coordenadas cartesiano nació de esta convención. Es decir, precisamente como gran ejemplo de su invención, Descartes parte de un problema antiguo que ya trataron los griegos. Su invención es para tratar problemas prácticos, el tipo de problemas que los matemáticos de la Hélade más trataron
Los Máximos y Mínimos de Fermat
Es difícil dar una primacía a cualquiera de los dos, Descartes y Fermat, en la invención de la Geometría Analítica, primero porque la idea fundamental de la misma se puede hallar en diferentes matemáticos antes de ellos, cabe mencionar a Apolonio, gran inspiración de Fermat; en el persa Omar Khayyam, cuyo trabajo es imposible que alguno de los dos conociera, en Oresme, y sobre todo en el antecedente directo de ambos Vieté. También es difícil otorgarles ese mérito pues ambos estaban en contacto mediante las cartas que Mersenne les remitía, y los supuestos momentos en que ambos llegaron al desarrollo de su idea son muy cercanos.
El trabajo pionero de Fermat en la geometría analítica (Methodus ad disquirendam maximam et minimam y tangentibus linearum curvarum) circuló en forma manuscrita en 1636 (basado en los resultados obtenidos en 1629), antes de la publicación de la famosa Géométrie de Descartes. Este manuscrito fue publicado póstumamente en 1679 en como Ad Locos Planos et Solidos Isagoge (Introducción a los Loci planos y sólidos). Sin embargo, hay que tener en cuenta que el hecho de que Descartes publicara en 1637 no significa que ese año fuese su concepción.
Fermat abordó la tarea de reconstruir los Lugares Planos de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la Geometría analítica: “siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva.” Fue en enero de 1643 cuando Fermat envió el tratado sobre los lugares planos y sólidos a su amigo Carcavi. Y en una carta a Mersenne escribe:
“He restaurado completamente el tratado “Plane loci” de apolonio. Hace seis años se lo envié a M. Prades … Es cierto que el problema más bonito y difícil, que entonces todavía no había resuelto, no estaba. Ahora el tratado está totalmente completo, y le puedo asegurar que en toda la Geometría no hay nada comparable con esa proposición.”(1636)
Fermat y el Plano
Inspirado por el estudio de Apolonio, Fermat, concibe curvas planas según su grado, y enuncia el principio fundamental de que una ecuación de primer grado, en el plano, representa una recta, y una ecuación de segundo grado una cónica. Simultáneamente, enuncia la clasificación de los problemas en problemas determinados, problemas que se reducen a una ecuación con dos incógnitas, a una ecuación con tres incógnitas, etc. y añade: los primeros consisten en la determinación de un punto, los segundos de una línea o un lugar plano, los siguientes de una superficie, etc. Aquí está ya el germen de la geometría de n dimensiones. Este escrito, planteando el principio de la dimensión en álgebra y en geometría algebraica, denota una fusión del álgebra y de la geometría totalmente conforme con las idea modernas.
Utilizando la notación de Vieté, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones:
con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. La extensión de la Geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la Geometría analítica del espacio quedó sin culminar
Descartes y el Plano
Según cuenta una anécdota [3], quizá es sólo un mito. un día estaba Descartes acostado cuando entró una mosca en su habitación. Este siguió con la mirada todos los movimientos de la mosca y se preguntó: ¿Es posible anotar de alguna manera su posición en cada instante?
Entonces se le ocurrió disponer tres rectas perpendiculares entre sí, dando valores numéricos a cada punto de la recta. Así, cada posición que tomara la mosca podría ser representada con tres números
En La Geometrie [4] Descartes propuso por primera vez que cada punto en dos dimensiones se puede describir con dos números en un plano, uno que da la ubicación horizontal del punto y el otro la ubicación vertical, que se conocen como coordenadas cartesianas. Utilizó líneas perpendiculares (o ejes), cruzando en un punto llamado el origen, para medir las ubicaciones horizontales x y verticales y, tanto positivas como negativas, dividiendo efectivamente el plano en 4 cuadrantes.
Cualquier ecuación se puede representar en el plano trazando sobre ella el conjunto de soluciones de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación simple y = x produce una línea recta que une los puntos (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), etc. La ecuación y = 2x produce una línea recta que une los puntos (0,0), (1,2), (2,4), (3,6), etc.
A medida que un punto se mueve a lo largo de una curva sus coordenadas van cambiando, pero se puede escribir una ecuación para describir el cambio en el valor de las coordenadas en cualquier punto de la figura. Usando este nuevo enfoque, pronto quedó claro que una ecuación como x² + y² = 4, por ejemplo, describe un círculo de radio 2; y² - 16x una curva llamada parábola; x²/a² + y²/b² = 1 una elipse; x²/a² - y²/b² = 1 una hipérbola; etc.
Fermat vs Descartes: ¿A quién seguimos hoy?
El enfoque de Descartes es diferente al de Fermat. Fermat expone mucho más claramente que Descartes el principio básico de que una ecuación con dos incógnitas es una expresión algebraica de las propiedades de un curva y su trabajo está orientado al desarrollo y aplicación de esta fructífera idea.
Mientras Descartes había sugerido clases nuevas de curvas engendradas por simples movimientos, Fermat introduce grupos de curvas dadas por sus ecuaciones algebraicas. A diferencia de La Geometría de Descartes, la Isagoge de Fermat tiene su propósito en demostrar que las ecuaciones lineales representan rectas y que las ecuaciones cuadráticas corresponden a cónicas.
En sentido general, se puede decir que la invención de la Geometría Analítica por Descartes consiste en la extensión del Arte Analítica de Viète a la construcción de las soluciones de ecuaciones indeterminadas mientras que para Fermat fue el estudio de los lugares mediante el Arte Analítica de Viète. Fermat era consciente de la posibilidad infinita de su trabajo en cuanto a la invención de nuevas curvas, mientras que Descartes presto atención solo a los lugares planos y sólidos de los griegos escogiendo en cada caso el sistema de referencia más conveniente.
Sin embargo, actualmente, la primera idea que llega al pensar en Geometría analitica es el plano Cartesiano y, realmente, la Geometría que desarrolló Descartes (en parte por el interés compartido de sus contemporáneos en los problemas de la física, a diferencia del interés por los problemas netamente numéricos que enfrentó Fermat) fue la que tuvo un mayor impacto en la matemática del momento, al punto de que hablamos de la Geometría Cartesiana como una disciplina en particular de la Geometría Analítica, para distinguirla de los aportes posteriores
Bibliografía
- Analytic geometry. (s.f.). Recuperado el 2 de Julio de 2017 de https://www.britannica.com/topic/analytic-geometry
- Descartes. (s.f.) Recuperado el 2 de Julio de 2017 de http://www.webdianoia.com/moderna/descartes/desc_obras.htm
- González Urbaneja, P. (2003) Los Orígenes De La Geometría Analítica. Fundación Canaria Orotava
- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Fermat.html
- http://www.matematicasdigitales.com/descartes-una-mosca-y-unos-ejes-cartesianos/
- https://sites.google.com/site/anageolitic/aportaciones-de-descartes-viete-fermat-oresme-y-liebnitz-a-la-geometria
- Mastin, L. (2010). 17th Century Mathematics - Descartes. Recuperado el 2 de Julio de 2017 de http://www.storyofmathematics.com/17th_descartes.html
- Pierre de Fermat. (2017, Junio 30). Recuperado el 30 de Junio de 2017 de https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
